نظرية الظلال- teoria delle ombre

الدكتور حسن العيسوي/ Hasan Isawi

=========================================== 

نظرية الظلال

لرؤية الصور

 PDF مطالعة الملف
https://drive.google.com/file/d/1WDfNnQICJ7FGnqDJHoPcoqE5pguGoeMR/view?usp=sharing&fbclid=IwAR04XnXhuSSCFkll9U0pbCHKXYoCdVgeF1Gm_k3WM0-lxrYpRXHf7oWAmxY

نظرية الظلال هي فرع من فروع الهندسة الوصفية، تستخدم في تمثيل ظلال الأجسام بالنسبة لمصدر ضوء. الظل هو منطقة محددة بمحيط مغلق ناتج من وجود مصدر ضوء.

يمكن تعريف نظرية الظلال بالدراسة التي تسمح، عندما يثبت مصدر ضوء, بإنشاء، من خلال سلسلة من الإنشاءات الهندسية، الظل الذاتي والساقط لشكل ما ^[1]

تم التأكيد ان الهندسة الوصفية يجب أن تؤخذ في الاعتبار من وجهتين نظر. الأولى باعتبارها وسيلة للوصول إلى تحديد بدقة النتائج المرجوة، وهذه هي الطريقة التي كانت تستخدم في قطع الحجارة والنجارة. من جهة ثانية، فهي وسيلة إظهار للكيانات الهندسية. في هذه الحالة تحديد الظلال هي ميزة مساعدة.^[2]

محتويات

• 1 تاريخ
• 2 الظل في الاظهار الهندسي
• 3 الظلال في الفن
• 4 أنواع الظلال
• 5 خلفية علمية
• 5.1 الأسس الاسقاطية
• 5.1.1 الظل والهندسة الاسقاطية
• 5.1.2 الظل كعملية تقاطع بين كيانات هندسية
• 5.1.2.1 أمثلة
• 5.1.2.2 ظل نقطة P على سطح مستوي (او منحني)
• 5.1.2.3 ظل خط مستقيم r على سطح مستوي (او منحني)
• 6 نتائج
• 6.1 مصادر
• 7 طالع أيضاً
• 8 وصلات خارجية

تاريخ

الدراسات الأولى عن الإنشاءات الهندسية للظلال في الاظهار ألمنظوري تعود إلى 1600 وبالخصوص إلى كتب كويدوبالدو ديل مونتي عن الاظهار المنظوري (Perspectivae Libri VI)ء, 1600 بيزا.

على وجه الخصوص، بالنسبة إلى الإنشاءات الهندسية للظلال في الإسقاطات المتعامدة، من المناسب الإشارة إلى دروس all'Ecoles Normales ل غاسبر مونج (القرنين الثامن عشر والتاسع عشر). تحديد الأشكال في الفراغ وطرق اطهارها هي مهمة الهندسة الوصفية التي هدفها حدد من قبل غاسبر مونج منذ البداية. من ضمن الرسومات التي نفذها مونج (Monge) كان هناك أيضا جزء يتعلق بنظرية الظلال. على بينة ان الرسوم ليس لها معنى عندما تفتقر إلى تأثيرات الظلال. ^[3]. ومن الواضح ان الرسم مهما كان دقيق ولكنة يفتقر للظلال, يبدو غامض وغير محدد.

الاطروحات في مجال الهندسة الوصفية بعد مونج, تضمنت العديد من الدراسات التي كرست حيزا واسعا لموضوع الظلال، مثل، دراسات فاليه (1821- Vallee) ^[4]، هاشيت (1828Hachette) ^[5]، بيليت (1885 Pillet) ^[6].

تم الانتهاء من عملية الترميز في اطروحة المنظور الخطي (Traite’ de la Perspective Lineaire) من عمل لا گورنير (La Gourneire -1862)

وقد نشرت في نظرية الظلال الكياروسكورو دراسات مثيرة للاهتمام في إيطاليا من قبل تساري (Tessari 1880) ^[7]، وبونتشي (Bonci 1937) ^[8].

دراسات الظلال الكياروسكورو

الظل في الاظهار الهندسي

الظلال في التمثيل الهندسي يطبق لإعطاء ادراك بعمق الفراغ، اي لخلق وهمية البعد الثالث على سطح الرسم، وأيضاً لإعطاء صورة صحيحة عن موضع الجسم في الفراغ. ولهذا فعملية التظليل تتطلب معرفة دقيقة بقواعد الهندسة الوصفية, لتكوين الفراغ المعماري.

الظل الناتج من جسم K هو عملية إسقاط للجسم K من مركز إسقاط C متطابق مع مصدر الضوء. الذي يمكن أن يكون نقطة نهائية كمصباح كهربائي (أو شمعة), أو نقطة لانهائية كالشمس.

بما ان الظلال تنتج من عملية إسقاط, ففي الحالة التي يكون فيها مصدر الضوء C نقطة نهائية, تلك العملية تعتبر اسقاط مركزي, والا فهي اسقاط متوازي, اي عندما يكون C نقطة لانهائية.

الظلال في الفن

تمثيل الظلال في الفن منذ نشأته، سمح بزيادة الشعور بالواقعية وبالعمق في الرسومات. ويمكن أن يعزى أول استخدام للظلال في تاريخ الرسم إلى مازاتشو (Masaccio)، حيث الاشكال تبدو أحجام حقيقية.

القديس-بطرس-يشفي-المرضى-بظله, وهي عنوان لوحة للفنان مازاتشو -1426-1427

أنواع الظلال

وفقاً للسطح (أو السطوح) الذي يستقبل الظل بالنسبة للجسم الماخوذ في الاعتبار, هناك ثلاثة تسميات للظلال، وهي:

• ظل ذاتي (بالإيطالية:ombra propria): هذا هو الجزء من K الغير معرض للضوء.
• ظل ساقط (بالإيطالية:ombra portata): هو إسقاط لحدود الظل الذاتي على الأسطح المجاورة.
• ظل ساقط ذاتي (بالإيطالية:ombra autoportata): هو إسقاط لحدود الظل الذاتي على سطح نفس الجسم K.

خلفية علمية

في الفقرات التالية، هناك خلفية علمية (إسقاطية) أتاحت للهندسة الوصفية رسم الظلال في طرق الاظهار المختلفة (منظور, اكسنومتري, مونج). أي الإنشاءات الهندسية التي تأخذ في الاعتبار الاحتياجات الحقيقية عند ممارسة الرسم.

بالإضافة إلى المواضيع المتعلقة بإجراءات الرسم التقليدي، يتناول هذا النص التطورات الراهنة لنفس الموضوع. الذي مع ظهور أدوات الرسم الرقمي, لا يستخدم تلك الاجراءات في عدة إسقاطات فردية، ولكن من خلال عمليات إسقاط تلقائية لاي أي شكل من الأشكال على أي سطح. هذة العمليات تنفذ على نموذج افتراضي من واحد أو أكثر من مصادر الضوء, التي من الممكن انشائها في العديد من برامج الكمبيوتر المختصة. وبالإضافة إلى ذلك، في الحاسوب، أثر التصيير (Rendering) ^[9] يسمح بدراسة مفصلة للمواد وكيف تتصرف عند التعرض للضوء وتشكيل الظل. وبالتالي على ما يبدو مواجهة هذة الإجراءات الرسومية غير ضرورية، ولكنها تسمح للمصمم إدارة واعية للظلال المتولدة تلقائياً, والتحكم بمنطق البرنامج المستخدم، وإلا فهو غير قادر على التدخل لاجتياز العقبات التي, كما هو معروف، تظهرها كل الادوات. هذه العقبات تؤدي إلى اعتماد الخيارات والحلول الوسط للوصول, في الحالات المختلفة, إلى تحقيق نتائج مفروضة: لهذا يجب معرفة المفهوم وتطبيقاته من أجل اتخاذ قرار الحل المناسب لكل حالة.

وعلاوة على ذلك، الظلال تثري رسم السكتشات السريعة لإعطاء الفكرة الأولية لمشروع ما. والتي بعد ذلك ستحدد بدقة من خلال النمذجة الرقمية. كما في هذه الحالة, للحصول على رسومات واقعية، هناك الحاجة إلى معرفة كيفية تحديد ظل الأشكال والتكوينات المكانية الأكثر شيوعا.

غالبا الظلال تسمح باستكمال المعلومات ثلاثية الأبعاد لشكل ما، لأنها تعتبر رؤيا من مركز إسقاط أخر، أي أن هناك إسقاطين لنفس الشكل: مركز الإسقاط الأول يتطابق مع مركز النظر والاخر مع مصدر الضوء. في كلتا الحالتين، من الضروري معرفة مفاهيم "عمليات الاسقاط والتقاطع" (operazioni di proiezioni e sezioni) لضمان تحقيق النتائج المرجوة. أو السماح لأفضل قراءة لنتائج الرسم واستبعاد غير مفهومة ومتناقضة أحيانا وغير ملائمة في كثير من الأحيان من من وجهة نظر جمالية.

تطبيقات الظلال في الاظهار تسمح بإنشاء الرسم التقني مثل الخطة الحجمية (Volumetric plan) حيث تراكب الظل والخطة يعطي المعلومات المفقودة, ألا وهي ارتفاعات الاشكال الممثلة. ويمكن استخدام الظلال لزيادة تاثير وهمية البعد الثالث في الخطة والعلو، والاكسنومتري والمنظور. والتي يمكن الحصول عليها بواسطة الرسم التقليدي أو الرقمي.

الأسس الاسقاطية

نظرية الظل وتطبيقاتها في أساليب الاظهار: اسقاطات مونج والاكسنومتري الكافاليرا الافقية

العناصر المرجعية هي مصدر الضوء الذي تتفرع منة أشعة الضوء (والتي للتبسيط تعتبر خطوط مستقيمة)، الشكل الذي يستقبل الضوء والمستوى حيث يقع الظل. كفاف الظل لشكل ما، يعرف كمحموعة من نقط تقاطع أشعة الضوء الماسة ذلك الشكل مع المستوى المتلقي للظل. لرسم الظلال ضروري تحديد "الخط فاصل الظل" الذي يشير إلى الخط الذي يفصل بين منطقة الظل ومنطقة الضوء لمجسم ما. إسقاط الخط فاصل الظل على سطح، يحدد كفاف "الظل الساقط" على نفس السطح. يمكن اعتبار الخط فاصل الظل كالكفاف الظاهر بالنسبة لمركز نظر متطابق مع مصدر الضوء. الذي يمكن ان يكون نقطة لانهائية مثل الشمس، وفي هذه الحالة أشعة الضوء تكون موازية لبعضها البعض, أو انها تتقارب، عندما يكون مصدر الضوء نقطة نهائية مثل المصباح. ومن الممكن تمييز "الظل الذاتي الساقط" بظل الكيان الذي يقع على سطح نفس الكيان.

ظل ذاتي, ظل ساقط, خط فاصل الظل, كفاف الظل الساقط

يمكن ملاحظة أنه لا توجد مناطق في الظل تماما أو في الضوء تماما، ولكن هناك تدرجات من الضوء إلى الظل. قانون جيب التمام أو قانون لامبرت يحدد العلاقة بين كثافة الضوء لسطح ما والزاوية بين الأشعة الضوئية مع الخطوط العمودية على نفس السطح. يمكن ايجاد تطبيقات لهذا القانون في اظهار مستويات مختلفة الميلان بالنسبة لمصدر ضوء, أو في تدريج كثافة الضوء على سطح منحني.

في الواقع، كثيرا ما يحدث أن كيان يتلقى الضوء من مصادر مختلفة. وهذا يعني أن هناك مناطق من الكيان تتلقى ضوء من كل المصادر، والبعض من مصدر واحد والبعض الآخر لا يتلقى أي ضوء. في هذه الحالة يمكن ملاحظة الكرة مضائة من مصدر واحد (شكل)، ثم الكرة نفسها تظهر آثار الإضاءة المجموعة (الشكل) من مصدرين ضوء مختلفين S1 و

الظل والهندسة الاسقاطية

قبل مواجهة بعض الإجراءات لتحديد الظل في الطريقة التقليدية (أو من خلال الرسم ثنائي الأبعاد *)، فانة مثير للاهتمام، دون اعتبار اداة الرسم المستخدمة، معرفة ان تكوين الظل يكمن في العلاقة التي تنشأ بين الشكل في الفراغ ومسقطة على مستوى ما. حيث مصدر الضوء في هذه الحالة يتطابق مع مركز الإسقاط.

لذلك في الفقرات التالية سوف نتعامل مع تشكيل الظل دون الاخذ في الاعتبار طريقة تمثيلها في أساليب الاظهار المختلفة (مونج, اكسنومتري، منظور) والتي ستناقش لاحقاً.

تحديد كفاف ظل لشكل ما يعتمد على نفس المبدأ الإسقاطي الذي هو أساس أساليب الاظهار المختلفة. مثلاً الإسقاط P' لنقطة P، على مستوى π، من مركز S، يُحدد بواسطة عمليات الإسقاط والتقاطع. أي, الإسقاط في عملية إيصال النقطتين P و S ؛ والتقاطع في ايجاد نقطة التقاطع P' بين الخط P - S والمستوى π. اذا استبدلنا مركز الإسقاط C بمصدر الضوء S, والظل P* بالإسقاط P' يمكننا ملاحظة أن عملية تحديد الظل مطابقة لعملية الإسقاط.

والإشارة إلى التشابه بين الظل والإسقاط، فيمكن اعتبار الظل الناتج عن مصدر طبيعي (والذي يفترض أنة يقع في اللانهاية) إسقاط متوازي (أو اسطواني), مثل طريقة مونج, الاكسنومتري والمنظور، في حين ان الظل الناتج عن مصدر ضوء اصطناعي يمكن اعتباره إسقاط مركزي (أو مخروطي), مثل الإسقاط المنظوري.

هذا التمييز مفيد لاعتماد نظام الإسقاط المناسب في تتبع كفاف الظل الساقط. والتي يمكن اعتبارها في أساليب الإظهار المختلفة كعملية إسقاط في الإسقاط.

عند التحقق من وجود علاقة إسقاطية بين العناصر المتورطة في إيجاد الظل، يمكن تحديد العلاقة بين الكائن وظله. العلاقة بين شكل مسطح ∆ وظلة ∆* تعتبر تقابل تألفي (أو افّيني) عندما يكون مصدر الضوء نقطة لانهائية، حيث محور التقابل هو خط التقاطع بين مستوى الشكل ∆ والمستوى الذي يتلقى الظل، ومركز التقابل هو مصدر الضوء نفسه. بينما إذا كان المصدر نقط نهائية، لا تتغير عناصر التقابل التي هي المحور u والمركز U, ولكن التناظر يسمى تقابل منظوري. بمجرد الانتهاء من تحديد متطلبات التقابل : المركز U والمحور u ونقطتين متقابلتين (أو خطين متناظرين)، يمكن المضي قدما لتحديد ظل نقاط أخرى من خلال استغلال خاصية التقابل، التي تكمن في اصطفاف النقاط المتناظرة مع المركز U وفي تقابل الخطوط المتقابلة على طول المحور u. على سبيل المثال، بمجرد إيجاد نقطتين متقابلتين مثل A* و A (الشكل --)، يمكن تحديد الظل B*: (للنقطة B) بتوصيل النقطتين A و B بواسطة الخط r، الذي يلتقي المحور u في النقطة t'α. والتي بتوصيلها A* نجد الخط r* (ظل الخط r)، الذي يتقاطع في النقطة B* (نقطة الظل المطلوبة) مع شعاع الضوء المار بالنقطة B.

الظل كعملية تقاطع بين كيانات هندسية

يمكن تفسير الظل كعملية تقاطع بين كيان ضوئي مع كيان متلقي للظل. الكيان الضوئي يمكن ان يكون خط في الحالة التي يراد فيها إيجاد ظل نقطة، ويمكن ان يكون سطح مستوي أو منحني عندما يراد إيجاد ظل خط مستقيم أو منحني. ويمكن صياغة هذه الحالات كالنحو التالي :

• ظل نقطة P على سطح ∆ يمكن تحديده كنقطة تقاطع بين الشعاع الضوئي المار بالنقطة P مع السطح المتلقي الظل ∆
• ظل خط مستقيم r على سطح ∆ يعادل تقاطع بين مستوى ضوئي مار بالخط r والسطح ∆.
• ظل مضلع θ على سطح ∆, يعادل تقاطع بين منشور ضوئي والسطح ∆. حواف المنشور تتكون من أشعة الضوء وقاعدته تتطابق مع نفس المضلع θ.
• ظل خط منحنى κ على سطح مستو α، يتوافق مع تقاطع بين اسطوانه ضوئية والسطح α. سطح الاسطوانه تتكون من أشعة الضوء وقاعدته تتطابق مع نفس المنحنى κ.

أمثلة

في الفقرات التالية هناك أمثلة لبعض حالات التقاطع بين كيان ضوئي وكيان متلقي للظل.

ظل نقطة P على سطح مستوي (او منحني)

مثال 1: ظل نقطة على مستوى عام

يتم تحديد ظل نقطة P على مستوى عام α (ألفا) كنقطة تقاطع بين شعاع الضوء المار بالنقطة P والمستوى المتلقى الظل α. لتحديد ؛* كظل للنقطة P يجب فهم واتباع الإجراءات التالية:

• 1- نمرر بالنقطة P شعاع ضوئي l
• 2- نمرر بشعاع الضوء l مستوى مساعد رأسي β
• 3- نحدد خط التقاطع بين المستويات ألفا وبيتا
• 4- في النهاية نجد نقطة التقاطع P* (وهو المطلوب) بين الخطوط r و s.

مثال 2: ظل نقطة على سطح اسطواني

مثال 3: ظل نقطة على سطح مخروطي

مثال 3: ظل نقطة على سطح كروي

ظل خط مستقيم r على سطح مستوي (او منحني)

مثال 1: ظل خط عام r على مستوى عام α

لتحديد ظل الخط r على المستوى α، ينبغي تحديد ظل نقطتين من r على α

• 1- لتحديد ظل النقطة الأولى P، نبدأ على النحو التالي :
• - ظل النقطة P يُحدد كنقطة تقاطع بين شعاع الضوء l المار بالنقطة P والمستوى α. للقيام بذلك - نمرر بالشعاع l مستوى رأسي β، - نحدد خط التقاطع s بين المستويين β وα. وهكذا نجد P* (ظل P) كنقطة تقاطع بين الخط s والشعاع l.
• 2- لتحديد ظل نقطة ثانية للخط r على α، يمكننا أن نتابع كما يلي :
• - نجد ظل الخط r على π1 (مستوى الإسقاط الأول) بتحديد وتوصيل النقطتين T’r (الأثر الأول للخط r) و P*(p1) (ظل النقطة P على π1). من المهم ملاحظة ان ظل الخط r على π1 يمثل خط تقاطع مستوى الضوء λ المار بالخط r مع π1, والذي يسمى الأثر الأول للمستوى λ ويرمز له t'λ.
• - نجد نقطة التقاطع R بين الآثار الأولى (t'α و t'λ) للمستويات α وλ. النقطة R تمثل ظل نقط ثانية للخط r على المستوى α. لذلك نجد r* (ظل الخط r على α), بتوصيل النقطتين P* و R. وأخيراً, نجد Q* (ظل الطرف الأخر للخط r) كنقطة تقاطع بين r* وشعاع الضوء المار بالنقطة Q

نتائج

قد يكون على حق, جزئياً، من يقول ان إنشاء ظلال النماذج الافتراضية يتم تلقائيا، وأنة كافي معرفة القليل من قواعد الهندسة الوصفية للحصول على نتائج اظهار مقنعة. ولكن يجب أن يكزن لدينا رؤية أوسع للاقتناع بحقائق أخرى. ينبغي أن نتذكر دائما الغرض الرئيسي من تدريس الهندسة الوصفية، متجاوزون تلك التقنيات الهادفة إلى حل مشكلة هندسية معينة, ألا وهو ممارسة العقل على إدراك الفراغ والسيطرة بشكل دقيق على أشكاله الممكنة وأساليب اظهارة المختلفة. وبما ان فكرة التصميم تنبع في المقام الأول من خبرة وتجربة العقل، فان تدريس الهندسة الوصفية يجد ما يبرره إذا كان الهدف هو تدريب هذا العقل على التفكير في كيفية عرض فكرة تصميمية معينة والتحقق من ميزاتها الهندسية والإدراكية. وعلاوة على ذلك، وبالاتفاق مع من يقول أن الصورة تساوي ألف كلمة، أود أن أؤكد على أن إنشاء تلك الصورة كان قد مر بمراحل من التفكير والمناقشة مليئة بالآلاف من الكلمات. وبهذا أريد ان ا قول إن هناك حاجة ماسة إلى معرفة اللغة الخاصة بالهندسة الوصفية لتنظيم ومناقشة العديد من الشكوك التي عادة ما تتشكل عند إنشاء وإظهار الأشكال الهندسية المختلفة وتكويناتها أللانهائية.

ولكي أكون أكثر قناعة، على الأقل بالنسبة لأولئك المتشككين بفائدة الهندسة الوصفية، أود التأكيد ان مفاهيم وطريقة عمل الهندسة الوصفية، تسمح من الناحية التقنية بتنفيذ الإنشاءات الهندسية المختلفة في مراحل إعداد عمليات توليد النماذج ثلاثية الأبعاد ومن ثم في تعيين أساليب الاطهار المناسبة.

مصادر

1.     ^ [ماريو دوتشي (M.Docci)، دليل التصميم المعماري (Manuale di disegno architettonico). ]

2.     ^ J.F. Heather. 1851. An elementary treatise on descriptive geometry, with a theory of shadows and of perspective

3.     ^ [Barnabé Brisson. G Monge. "Geometrie descriptive". argomentee d'una theorie des ombres et de la perspective. gauthier villiars. 1820]

4.     ^ [Louis Vallée, Traité de la science du dessin, contenant la théorie générale des ombres, la perspective linéaire, la théorie générale des images d'optique, et la perspective]

5.     ^ [JPN Hachette, 1828. Traité de Géométrie Descriptive: Comprenant les Applications de Cette Géométrie Aux Ombres, À la Perspective et À la Stéréotomie.]

6.     ^ [JJ Pillet, Traité de perspective linéaire... ombres usuelles et du Rendu dans le dessin d'architecture e dans le dessin des machines, Paris - Leipzig,Blanchard, 1885-1921]

7.     ^ [Domenico Tessari, La Teoria delle ombre e del chiaro-scuro, Ulrico Hoepli, Milano 1921]

8.     ^ [Elia Bonci, teoria delle ombre e del chiaroscuro, Hoepli 1937.]

9.     ^ [تصيير (باللغة الإنجليزية Rendering) تشير بشكل عام إلى الأداء في الرسم، أو عملية يقوم بها الرسام لانتاج اظهار ذات جودة لكيان هندسي (في التصميم أو المسح). في الآونة الأخيرة نسبيا أصبحت كلمة أساسية في نطاق رسومات الحاسوب، والتي تحدد عملية توليد صورة لمشهد ثلاثي الابعاد، بالاعتماد على خوارزميات تحدد لون كل نقطة في الصورة, وعلى معلومات رياضية عن هندسة الشكل، مركز النظر، والخصائص الضوئية للأسطح المرئية وعن مصدر الضوء]

طالع أيضاً

• مسائل التقاطع
• jمسائل القياس
• مسائل الموضع

وصلات خارجية

• Geometria Descrittiva

تصنيف:

• هندسة وصفية
• .

Teoria delle ombre
By Hasan isawi

La teoria delle ombre è una parte della geometria descrittiva che si occupa di rappresentare, oltre ad un solido, l'ombra prodotta dal solido rispetto ad alcune fonti di luce.

La teoria dell'ombra, è uno dei argomenti più completi e fondamentali della geometria descrittiva. la sua osservazione in natura permette allo studente architetto di comprendere la maggior parte dei concetti della geometria descrittiva. Quali le classificazioni dei metodi di proiezione, i problemi di incidenza, la corrispondenza biunivoca … ecc.

L'ombra prodotta da un solido viene rappresentata come la proiezione del solido rispetto ad una stella di rette (l'equivalente nello spazio del fascio di rette). Per fonti di luce puntiformi si considera la stella di rette avente centro in quel punto; per fonti di luce "a distanza infinita" si considera la stella di rette parallele definita dal corrispondente punto a infinito. I due casi rappresentano, approssimativamente, le ombre generate rispettivamente da una lampada e dal Sole.

La parte della superficie di un solido K non rivolta verso la fonte di luce è l'ombra propria di K; le linee che separano la parte in ombra propria da quella in luce, si dicono "separatrici di ombra" di K. La proiezione delle separatrici di ombra di K su un altro oggetto, dal centro di proiezione in questo caso coincidente con la sorgente luminosa, si dice "ombra portata" di K. Si dice ombra autoportata se tale proiezione cade sulla stessa superficie di K.

Ombre prodotte da una sorgente propria fanno riferimento al metodo delle proiezioni centrali (prospettiva)

Ombre prodotte da una sorgente impropria è una proiezioni parallela (Assonometria)

Con riferimento ai tipi di proiezioni, l’ombra di un oggetto può essere prodotta da una sorgente naturale, approssimativamente impropria, e quindi può essere paragonata alle proiezioni parallele, o può essere paragonata alle proiezioni centrali se la sorgente luminosa è artificiale, cioè prodotta da un punto proprio.

Con riferimento ai problemi di incidenza, l’ombra di un oggetto può essere interpretata come incidenza tra i diversi enti geometrici (tra retta piano, tra piani, o tra superficie e piano). Ovvero l’ombra può essere interpretata come incidenza di un ente di luce (retta, piano o superficie) passante per un ente oggettivo (punto, retta, figura) con l’ente che riceve l’ombra (superficie piana o curva).

Indice

• 1 Casi principali
• 2 Esempi impliciti
• 2.1 Esempi espliciti
• 2.1.1 Ombra di un punto su una superficie sferica
• 2.1.2 Ombra di un punto su una superficie conica
• 2.1.2.1 Conclusione
• 3 Altri progetti
• 4 Collegamenti esterni

Casi principali

• l'ombra di un punto P su di un piano alfa, si determina come punto d'intersezione del raggio luminoso l passante per il punto P con il piano che riceve l'ombra alfa.

• l'ombra di una retta r su un piano alfa, si determina come retta d'intersezione del piano di luce λ passante per la retta r con il piano che riceve l'ombra alfa.

·          

• Quando r è verticale e alfa orizzontale, l'ombra r* di r coincide con la prima proiezione del raggio luminoso (o con l'immagine della prima proiezione di r, nel caso della prospettiva o in alcuni tipi di assonometria, come la cavaliera).
• quando r è parallela ad alfa, risulta r* // r
• quando r coincide con un raggio luminoso, r* è un punto
• quando r appartiene ad alfa, r* coincide con r

Inoltre da ricordare che per determinare l'ombra di r su alfa occorrono due punti ombra di r su alfa. Si tenga presente che il punto d'intersezione di r con alfa coincide con la sua ombra, per cui il più delle volte si va a determinare tale punto per ottenere uno dei due punti ombra citati. Il secondo punto ombra, di r su alfa, si determina come punto d'intersezione del raggio luminoso passante per un punto di r con alfa.

Esempi impliciti

• l'ombra di una conica delta su un piano alfa, può essere interpretata
• come sezione piana di un cilindro quadrico, quando si ha una sorgente impropria, in tal caso i raggi luminosi fungono da generatrici per il cilindro;

• come sezione piana di un cono quadrico quando la sorgente è propria. In entrambi i casi, appena citati, la conica delta funge da base sia per il cilindro sia per il cono.

• L'ombra di una conica Delta su una quadrica non degenere K, in generale viene interpretata come una quartica intersezione tra un cono luminoso avente come base la conica Delta, con la superficie K che riceve l`ombra.

Esempi espliciti

Ombra di un punto su una superficie sferica

Ombra propria e portata di una sfera e l'ombra di un punto su di essa, in assonometria cavaliera militare

Ombra propria e portata di una sfera e l'ombra di un punto su di essa, in assonometria cavaliera militare

Una volta che abbiamo finito di rappresentare la sfera in assonometria cavaliera militare ( vedi figura ) e anche il punto P, e stabilita la direzione del raggio luminoso l e la sua prima proiezione l1, passiamo a determinare in ordine:

• l'ombra del punto P sulla sfera
• l'ombra propria e portata della sfera

• L'ombra di un punto P su una sfera si determina come intersezione del raggio luminoso passante per P con sfera. A tale fine si fa passare per il punto P il piano di luce λ, la prima traccia di λ coincide con la prima proiezione l1 del raggio luminoso l,
• Si determina la sezione circolare Θ tra λ e la sfera. Ma dato che Θ appartiene ad un piano non parallelo al quadro, la sua immagine assonometrica è un'ellisse. La costruzione del quale esige di diversi costruzioni geometriche, per evitare i quali sfruttando la coincidenza tra il quadro con il primo piano di proiezione, conviene eseguire una proiezione ortogonale su un piano verticale parallelo al piano λ e poi eseguire il ribaltamento sul quadro in modo da poter disegnare la circonferenza Θ in vera forma e misura. A tale fine, si stabilisce la linea di terra parallela alla prima traccia di λ; si proiettando i punti d'intersezione della circonferenza equatoriale delta con t'λ, che rappresentano il diametro della circonferenza-sezione Θ. si proietta anche il raggio luminoso l per poter individuare il punto P*2 come intersezione delle proiezione l2 e Θ2, e poi si raddrizza tale punto P*2 e si porta in assonometria per individuare l'ombra P* di P sulla sfera.

• Per determinare l'ombra propria della sfera, si tiene in considerazione il fatto che la separatrice di ombra Σ della sfera, appartiene ad un piano alfa ortogonale al raggio luminoso e passante per il centro della sfera. A tale fine, nella proiezione ausiliaria, si fa passare una retta m2 perpendicolare alla seconda proiezione l2 del raggio luminoso l. La retta m rappresenta la retta di massima pendenza di alfa. Il punto d'intersezione M2 della retta m2 con il contorno apparente della sfera, rappresenta il punto di massima quota della separatrice d'ombra Σ. Il quale può raddrizzato e portato in assonometria. Individuando così il punto M che rappresenta in assonometria un estremo di uno dei due diametri coniugati della separatrice Σ. L'altro diametro g passa per C ed è perpendicolare alla prima proiezione m1 di m.

Una volta che si ha due diametri coniugati di un'ellisse Σ, è facile determinarvi gli assi e costruirla (vedi procedimento).

• Per determinare l'ombra portata della sfera, si stabilisce un piano oggettivo δ su cui poggia la sfera nel punto F (estremo inferiore dell'asse a della sfera), e si procede a determinare l'ombra m* g* dei due diametri coniugati della separatrice Σ. che in questo caso rappresentano anche gli assi dell'ellisse Σ* ombra di Σ.

vale la pena dire che l'ombra portata della sfera sul piano delta corrisponde all'intersezione di questo piano delta con un cilindro di rotazione che ha come sezione retta la separatrice d'ombra Σ ed ha come asse il raggio luminoso passante per il centro della sfera.

Ombra di un punto su una superficie conica

Ombra di un punto su un cono di rotazione

l'ombra di un punto P su una superficie si determina come punto d'intersezione P* del raggio luminoso l passante per P con la superficie. Nel caso di una superficie conica, la determinazione del punto d'intersezione P* (ombra di P) si ottiene assumendo un piano passante per il raggio luminoso l e che seziona il cono K secondo una conica (eventualmente degenere). Dato che esistono infiniti piani che passano per il raggio l e che sezionano il cono, e poiché secondo il tipo di conica risultante da tale sezione, e secondo lo strumento di disegno utilizzato (o meglio il metodo di disegno), la costruzione della conica-sezione può essere più o meno laboriosa.

In tutti i casi occorre insegnare quei concetti base della geometria, finalizzati a determinare delle sezioni semplici che sono in questo caso le generatrici del cono. A maggior ragione, questi concetti sono tecnicamente indispensabili in tutti quelle operazioni di disegno che non offrono soluzioni immediate o meglio automatiche come nel disegno 2d, nella modellazione wireframe e nella modellazione superfici. A tale proposito e con riferimento al software AutoCAD, occorre sottolineare il fatto che solo nella modellazione solida è possibile ottenere in automatico qualsiasi tipo di sezioni con il solo operazione di specificare i tre punti che individuano il piano di sezione (che nel caso specifico corrisponde al piano di luce λ).

Invece nei altri detti metodo di disegno (modellazione wireframe e superfici), la determinazione delle coniche come sezioni di un cono, richiede tanti costruzioni geometriche che possono avere risultati più o meno precisi secondo lo strumento utilizzato.

In generale per ottenere dei risultati precisi, nei metodi di disegno non automatici, occorre finalizzare le costruzioni alla determinazione dei punti notevoli della coniche-sezioni. Per esempio nel caso dell'ellisse-sezione tali punti sono gli estremi dell'asse maggiore e minore.

Nel disegno tradizionale (riga e compasso), il risultato è quasi sempre approssimativo, dato che il numero dei punti della conica da costruire è quasi sempre limitato. In generale, il disegno 2d. come noto ha lo svantaggio di non permettere di modificare la posizione del punto di vista, dato che esso è già una proiezione. Per cui questo tipo di disegno occorre definire scegliere in quale metodo di rappresentazione operare e poi una volta che sono stati rappresentati gli elementi elementi in questione (in questo caso riguardano il cono, il punto P, il raggio luminoso l) si procede alla soluzione del problema, in questo caso l'individuazione del piano luminoso passante per l e sua la sezione col cono.

A tale proposito, Nella modellazione wireframe e nella modellazione superfici, esiste una fase sola quella di costruzione finalizzata alla soluzione del problema, dato che le rappresentazione del problema avviene in modo automatico da qualsiasi punto di vista.

Con il fine di evitare la determinazione di una conica che richiede delle costruzione geometriche laboriose, occorre sapere che è possibile sezionare il cono in modo da ottenere una sezione semplice, rappresentata in questo caso da due rette.

In generale la sezioni più semplici di una superficie conica (incluso il cilindro come caso particolare di cono) si ottiene con un piano passante per il vertice di tali superfici. Ottenere questi tipi di sezioni contribuisce, nei disegni non automatici, a produrre dei disegni più precisi e di facile lettura.

Comunque, al di là del metodo di disegno utilizzato. Il problema in generale può essere formulato così: quale è la giaciture del piano (in questo caso di luce) passante per una retta (raggio luminoso L passante per P) che sezione un cono K seconde due generatrici. Questa domanda trova risposta nel fatto che i piani secanti il cono e passanti per il suo vertice, lo sezionano secondo due generatrici. Tecnicamente, occorre individuare il piano-sezionante mediante due rette complanari. I quali possono avere in comune un punto proprio (in nostro caso può essere P) o un punto improprio ciò è la direzione parallela ad l. Nel nostro caso, dato che si tratta di determinare l'ombra di P sul cono, una di tali rette è il raggio luminoso l. La seconda retta può essere la parallela al raggio l passante per il vertice del cono. Inoltre occorre sapere che le generatrici sezione di un piano λ con il cono, sono individuati, oltre dal vertice, anche da due punti della base del cono. Per determinare tali punti, occorre determinare la retta d'intersezione di λ con il piano della base di K. Dato che la base del cono appartiene a al primo piano di proiezione pigreco1, tale retta è la prima traccia di λ. l'intersezione della prima traccia di λ con la base di K, individua due punti, dove passano le dette generatrici del cono. Ovvero la sezione del cono con il piano λ passante per il punto P.

Una volta che siamo riuscito a determinare una sezione semplice del cono, è sufficiente individuare il punto d'intersezione P* (ombra di P) del raggio luminoso passante per P con una di queste due generatrici per ottenere l'ombra di P sul cono K.

Conclusione

La sezione semplice del cono è formata da due rette, che si ottengono con un piano passante per il vertice del cono. La differenza del metodo adottato non debba escludere questo concetto importante che debba essere insegnato allo studente. Il caso che abbiamo affrontato riguardava l'ombra di un punto, ma questo concetto può essere adottato per risolvere altri problemi come quelli di incidenza, di rappresentazione, di misura ecc. Come ad esempio la determinazione della distanza di un punto da una superficie conica K. In questo caso, la soluzione consiste nel determinare una retta passante per r e per P e in modo che sia ortogonale alla superficie conica. Dato che l'angolo retta si misura tra due rette complanari, occorre sezionare il cono con un piano passante per r e per il vertice di K per ottenere una di tali rette.

Quindi la parte più importante da sottolineare in questa o in altri operazioni di costruzioni geometriche per risolvere un determinato problema geometrico è il concetto. Certo che l'applicazione di tale concetto secondo il metodo utilizzato può essere più o meno complesso. Senza sapere i concetti base della geometria descrittiva, è difficile poter risolvere i problemi anche più banali, pur avendo a disposizione degli strumenti di disegno più sofisticati. Con questo non voglio escludere la potenza degli strumenti informatici di disegno, anzi vorrei sottolineare il loro ruolo nel facilitare l'applicazione dei vari concetti di disegno e soprattutto i loro nuovo modo di insegnamento.

Collegamenti esterni

• Costruzioni geometriche, Modellazione 3D e rappresentazioni grafiche
• Il disegno e l'ombra. Fondamenti, metodi e applicazioni attuali della teoria... By Cristina Càndito
• Teoria delle ombre nel metodo di Monge
• Shadows: Cast Shadow, Self-shadow
• shadows, reflections & atmosphere
• La teoria delle ombre. Giovanna Maria Zucchetti

Categoria:

• Geometria descrittiva