تحديد الصورة الاكسنومترية للدائرة من خلال العلاقة التقابلية (Affinity ) التي تربط الدائرة بشكلها الحقيقي

تحديد الصورة الاكسنومترية للدائرة من خلال العلاقة التقابلية (Affinity ) التي تربط الدائرة بشكلها الحقيقي (الشكل 3). 
 

شكل 3: حالة تقابل بين الصورة الاكسنومترية للدائرة وشكلها الحقيقي

 العلاقة التقابلية تنشأ بين شكلين مستويين تم الحصول عليهما كاسقاطات متحدة المستوى لنفس الشكل. مثلا في الشكل 3, الدائرة والاهليج نتجا بالتوالي كصورة اكسنومترية للدائرة  وكدوران لنفس الدائرة.

بشكل عام من أجل العمل في أي نوع من العلاقات التقابلية المستوية (على نفس المستوى), هناك الحاجة الى ثلاثة متطلبات, وهي

1. - مركز التقابل (U), في هذا النوع من التقابل (Oblique affinity) المركز يكون نقطة لانهائية باتجاه مائل بالنسبة لمحور التقابل u.  مركز التقابل (U) يمثل النقطة المشتركة لجميع الخطوط  (مثل الخط الأزرق في الشكل3) التي تمر بالنقاط المتقابلة  (مثل P* P),
2.  محور التقابل (u) يتمثل خط نهائي حيث تلتقي الخطوط المتقابلة (مثل الخطين باللون الاخضر الملتقية في النقطة 1),
3.  نقطتين متقابلتين (مثل P* P), أو خطين متقابلين (مثل P*-1, P_1).

Once we have one of the corresponding figures (the circumference) and also determined those requirements, we proceed to determine the other figure (the ellipse).

في الحالة التي يراد فيها استخدام العلاقة التقابلية لإيجاد احدى الأشكال المتقابلة (مثل الدائرة)، ينبغي  تحديد شروط هذه العلاقة ،  ومن ثم الشروع في تحديد الشكل المتقابل الأخر (مثل الاهليج).

شروط العلاقة التقابلية في الحالة المعنية

• مركز التقابل U في هذه الحالة يمر بالنقطتين المتقابلتين  C* C,  
• محور التقابل u يمكن ان يكون أي خط موازي لواحد من الاقطار المتزاوجة (Conjugate Diameters) للاهليج. 
• النقاط المتقابلة يمكن ان تكون 'C* C, حيث النقطة ' C تمثل مركز الاهليج (الصورة الاكسنومترية للدائرة), والنقطة C* تمثل دوران النقطة C حول محور التقابل u. أما الخطوط المتقابلة فيمكن ان تكون 'a* a. حيث الخط 'a تمثل قطر الاهليج , والنقطة *C تمثل دوران النقطة C حول محور التقابل u.

مثلا لإيجاد النقطة 'P المتقابلة للنقطة *P, نعمل التالي:
- نوصل بواسطة خط النقطتان *P و 'P  حتى يتقاطع مع محور التقابل في النقطة 2
- نوصل 2  مع النقطة المتقابلة للنقطة وهكذا نحصل على الخط المتقابل للخط السابق (خطوة 1) وحيث يتقاطع مع اتجاه مركز التقابل (باللون الأزرق) المار بالنقطة 'P نجد النقطة المطلوبة 'P , أي واحدة من نقاط الاهليج.

بطريقة مماثلة للخطوات السابقة يمكن ايجاد عدد كافي من النقاط لرسم الاهليج بطريقة دقيقة.

لوحة 4 (محاضرة 2/21 ): اظهار حالة تقاطع بين حجم مغطى بقبة اسطوانية وحجم أخر مغطى بسقف مستوي مائل

Case of intersection between a volume covered by a barrel vault and another volume covered with a sloped roof

محاضرة  2/21/   لوحة 4

اللوحة 4 تتناول بشكل رئيسي حالة تقاطع بين حجم مغطى بقبة اسطوانية وحجم أخر مغطى بسقف مستوي مائل. لهذا الهدف قد تم استخدام اسلوبين من أساليب  الإظهار, وهما الاكسنومتري الكافاليرا الأفقية (Cavalier Perspective)  و طريقة مونج (Monge projection).

شكل1: الرسمة تظهر الإنشاءات الهندسية اللازمة لتحديد اهليج التقاطع بين القبة الاسطوانية والمستوى المائل.
وهذا يتم باستخدام مستويات رأسية مساعدة (باللون السماوي) بحيث تقطع الحجم المعني وفقا لمقاطع سهلة التحديد (الخطوط باللون الاحمر). كل واحد من هذه المستويات يقطع الاسطوانه وفقا لراسم  ويقطع المستوى المعني وفقا لخط (قي هذه الحالة خط اقصى انحدار). واخيرا النقاط المشتركة (مثل Mv)  بين الخطوط والرواسم لكل مستوى تحدد نقاط الاهليج المطلوب

شكل2 :الاسقاطات العمودية (طريقة مونج) لحالة تقاطع اهليجي بين حجم مغطى بقبة اسطوانية وحجم أخر مغطى بسقف مستوي مائل

المفاهيم المتناولة في هذه اللوحة: 

1. - تحديد التقاطع بين اسطوانة بمحور افقي ومستوى مائل
2.  تحديد الصورة الاكسنومترية للدائرة من خلال العلاقة التقابلية (Affinity ) التي تربط الدائرة بشكلها الحقيقي (الشكل 3).
3.  انشاء مستوى مائل معلومة ثلاثة نقاط منه
4. انشاء قوس معلوم نقطتين وخط متماس له 
5. - تهشير مستوى مائل باستخدام خطوط اقصى انحدار للمستوى
6. - تهشير سطح اسطواني باستخدام رواسم السطح
7. -   توضيح من خلال خطوط متقطعة المناطق المخفية في الإسقاطات المختلفة
8. انشاء مقاطع طولية وعرضية باستخدام الاسقاطات العمودية (طريقة مونج) وبالاستعانة بالاكسنومتري الكافاليرا لفهم الحالة الفراغية المعنية.

- تحديد المقطع الاهليجي للاسطوانة 

أخذين بالاعتبار أن حل المسألة الهندسية المعنية (تحديد اهليج التقاطع بين المستوى α والاسطوانة K) يمكن ان يتم من خلال استخدام عدد من المستويات المساعدة  . وبهدف التبسيط  ينبغي معرفة ما هو ميلان هذه المستويات للحصول على مقاطع سهلة التحديد. في هذا الصدد المستويات التي تشترك بمحور الاسطوانه تقطعها وفقا لرواسم التي هي خطوط أي انها مقاطع  سهلة التحديد. 

بشكل عام المستويات التي تمر بقمة الحجم سواء نهائية  (مثل المخروط)  او لانهائية ( مثل الاسطوانة), تقطع الحجم وفقا لرواسم. ولكن ينبغي الاخذ في الاعتبار ان من بين العدد الانهائي من المستويات التي يمكن ان  تمر او توازي محور الاسطوانة,  المستويات الرأسية القاطعة الاسطوانة  هي الاسهل للاستخدام. وهذا بسبب سهولة تحديديها, أي انه كافي الاثر الأول للمستوى الرأسي لمعرفة وضعه في الفراغ. وفقا لهذا الاعتبار,  الاجراءات في هذه الحالة  لإيجاد المقطع الاهليجي يمكن ان تكون ملخصة كالتالي:

1. نمرر بمحور الاسطوانة K مستوى رأسي β , حيث الاثر الاول للمستوى β يتطابق مع الاسقاط الاول لمحور الاسطوانة
2. نحدد الراسم g كتقاطع بين β  والاسطوانة, في هذه الحالة وبما ان محور الاسطوانة افقي, الراسم هو الذي يمر بالنقطة المفتاحية M للقاعدة النصف دائرية للاسطوانة K. أي النقطة ذو الارتفاع الاقصى للقوس الدائري.
3. نحدد الخط m كتقاطع بين β  والمستوى المائل α . في هذه الحالة وبما ان المستوى المساعد β عمودي على α فخط التقاطع m يمثل خط اقصى انحدار للمستوى α.
4. نجد النقطة Mv كتقاطع بين الراسم g والخط  m

 بطريقة مماثلة للخطوات السابقة أي باستخدام عدد من المستويات المساعدة الاخرى, من الممكن ايجاد نقاط اخرى (مثلMv)  لرسم المقطع الاهليجي الناتج من تقاطع القبة الاسطوانية والمستوى المائل α.

عرض متتالي لخطوات الحل الرئيسية للمسألة المعنية
في طريقة مونج (الاسقاطات العمودية)

خطوة 1: تحديد الاسقاطات العمودية للحجم المغطى بسقف مائل.:  ينبغي الآخذ في الاعتبار ان القياسات يجب ان تقرر بحيث تكون مناسبة للحصول تقريبا على نسب وتناسب الرسمة المقترحة وبالتالي لا يمكن ان يكون هناك تشابه مطلق بين الرسومات

خطوة 2: تحديد الاسقاطات العمودية للقبة الاسطوانية وللاعمدة المرتكزة عليها من الجهة اليمنى (بالنظر الى الاسقاط العمودي الثالث) .   في هذه المرحلة كما يلاحظ لم يحدد بعد التقاطع الاهليجي بين الاسطوانة والمستوى المائل

خطوة 3: تحديد التقاطع الاهليجي بين القبة الاسطوانية الخارجية ومستوى السقف المائل

خطوة4 : تحديد التقاطع الاهليجي بين القبة الاسطوانية الداخلية مع مستوى السقف المائل للحجم الرئيسي

خطوة 5: تحديد الحجم الثانوي المغطى بسقف مائل موازي لمستوى سقف الحجم الرئيسي, وتحديد أيضا خطوط أقصى انحدار لهذه الأسقف

عرض متتالي لخطوات الحل الرئيسية للمسألة المعنية
في الاكسنومتري الكافاليرا الافقية

 

خطوة 1: تحديد الاسقاطات العمودية للحجم المغطى بسقف مائل.
ينبغي الأخذ في الاعتبار ان المقاسات يجب ان تكون مناسبة للحصول تقريبا على نسب وتناسب الرسمة المقترحة وبالتالي لا يمكن أن هناك تشابه بين الرسومات

خطوة 2: تحديد الاسقاط الاكسنومتري لقاعدة القبة الاسطوانية الخارجية ومن ثم تحديد بعض الرواسم المهمة لنفس الاسطوانة.  في هذه المرحلة كما يلاحظ لم يحدد بعد التقاطع الاهليجي بين رواسم الاسطوانة والمستوى المائل

خطوة 3: تحديد الاسقاط الاكسنومتري لقاعدة القبة الاسطوانية الداخلية ومن ثم تحديد الأعمدة المرتكزة عليها

خطوة 4:  تحديد التقاطع الاهليجي بين القبة الاسطوانية الخارجية ومستوى السقف المائل

  خطوة 5: تحديد التقاطع الاهليجي بين القبة الاسطوانية الداخلية ومستوى السقف المائل, وتحديد أيضا الحجم الثانوي المغطى بسقف مائل موازي لسقف الحجم الرئيسي , وخطوط أقصى انحدار لهذه الأسقف

 


 2- تحديد الصورة الاكسنومترية للدائرة من خلال العلاقة التقابلية (Affinity ) التي تربط الدائرة بشكلها الحقيقي (الشكل 3). 

شكل 3: حالة تقابل بين الصورة الاكسنومترية للدائرة وشكلها الحقيقي

 العلاقة التقابلية تنشأ بين شكلين مستويين تم الحصول عليهما كاسقاطات متحدة المستوى لنفس الشكل. مثلا في الشكل 3, الدائرة والاهليج نتجا بالتوالي كصورة اكسنومترية للدائرة  وكدوران لنفس الدائرة.


بشكل عام من أجل العمل في أي نوع من العلاقات التقابلية المستوية (على نفس المستوى), هناك الحاجة الى ثلاثة متطلبات, وهي

1. - مركز التقابل (U), في هذا النوع من التقابل (Oblique affinity) المركز نقطة لانهائية باتجاه مائل بالنسبة لمحور التقابل u.  مركز التقابل (U) يمثل النقطة المشتركة لجميع الخطوط  (مثل الخط الأزرق في الشكل3) المارة  بالنقاط المتقابلة  (مثل P* P),
2.  محور التقابل (u) يتمثل في خط نهائي حيث تلتقي الخطوط المتقابلة (مثل الخطين باللون الاخضر الملتقية في النقطة 1),
3.  نقطتين متقابلتين (مثل P* P), أو خطين متقابلين (مثل P*-1, P_1).

Once we have one of the corresponding figures (the circumference) and also determined those requirements, we proceed to determine the other figure (the ellipse).

في الحالة التي يراد فيها استخدام العلاقة التقابلية لإيجاد احدى الأشكال المتقابلة (مثل الدائرة)، ينبغي  تحديد شروط العلاقة التقابلية (المذكورة اعلاة)،  ومن ثم الإشراع في تحديد الشكل المتقابل الأخر (مثل الاهليج).

شروط العلاقة التقابلية في الحالة المعنية

• مركز التقابل U في هذه الحالة يمر بالنقطتين المتقابلتين  C* C,  
• محور التقابل u يمكن ان يكون أي خط موازي لواحد من الاقطار المتزاوجة (Conjugate Diameters) للاهليج. 
• النقاط المتقابلة يمكن ان تكون 'C* C, حيث النقطة ' C تمثل مركز الاهليج (الصورة الاكسنومترية للدائرة), والنقطة C* تمثل دوران النقطة C حول محور التقابل u. أما الخطوط المتقابلة فيمكن ان تكون 'a* a. حيث الخط 'a تمثل قطر الاهليج , والنقطة *C تمثل دوران النقطة C حول محور التقابل u.

مثلا لإيجاد النقطة 'P المتقابلة للنقطة *P, نعمل التالي:
- نوصل بواسطة خط النقطتان *P و 'P  حتى يتقاطع مع محور التقابل في النقطة 2
- نوصل 2  مع النقطة المتقابلة للنقطة وهكذا نحصل على الخط المتقابل للخط السابق (خطوة 1) وحيث يتقاطع مع اتجاه مركز التقابل (باللون الأزرق) المار بالنقطة 'P نجد النقطة المطلوبة 'P , أي واحدة من نقاط الاهليج.

بطريقة مماثلة للخطوات السابقة يمكن ايجاد عدد كافي من النقاط لرسم الاهليج بطريقة دقيقة.

Read more »

اللوحة الثالثة: تمثيل تقاطح بين أحجام معمارية بأسقف مائلة في الاكسنومتري الافقية وفي طريقة مونج

.

اللوحة الثالثة تتعلق بحالة تقاطع بين احجام معمارية بأسقف مائلة, وخصوصا  تتعلق بتمثيل حالة تقاطع بين مستويات مائلة باستخدام أسلوبيين اظهارمعماري: الاكسنومتري الكافاليرا الأفقية وطريقة مونج.

في هذه الحالة (شكل 1) هناك حجميين K (الايمن) و J (الايسر), كل منهما مغطى بسقف مائل ذو طيتين.
بما أن ارتفاع سقف الحجم J أقل من ذلك  للحجم K , فينبغي الاخذ في الاعتبار الخطوط b c a   ونقاط تقاطعها مع المستوى α.  حيث α  يمثل  واحدة من طيتي الحجم الايمن K.  الخطوط b c a تمثل بالتوالي a خط أقصى ارتفاع  لسقف الحجم  J , و  b c يمثلان خطين أدنى ارتفاع لسقف نفس الحجم J.

وفقا لما سبق  نأخذ في الاعتبار واحد (مثلا a) من الخطوط الثلاثة b c a  ونحدد النقطة Q كتقاطعه مع المستوى α .
كما يلاحظ في الشكل 1 النقطة Q تنتمي الى ثلاثة مستويات δ α β . التي هي بالتوالي:

•  α مستوى مائل ويمثل واحدة من طيتي سقف الحجم K؛
•  β مستوى رأسي ويمثل واحد من الجدار الثلاثة المحددة الحجم J , والجدير بالذكر ان المستوى β عمودي على α, لأن الاثر الاول (t' β) عمودي على الإسقاط الاول لخط افقي ينتمي للمستوى α .  وهذا يعني أن خط التقاطع m بين المستويات α β, يمثل خط أقصى انحدار للمستوى α.
•  α مستوى مائل ويمثل واحدة من طيتي سقف الحجم  J.

شكل1: الاكسنومتري الكافاليرا الأفقية لحالة تقاطع بين أحجام معمارية كل منها بسقف مائل ذو طيتين

المرحلة الأولى

لإيجاد نقطة التقاطع Q بين الخط a والمستوى α نتبع الإجراءات والمفاهيم التالية:

1. النقطة P1 تمثل سلفا نقطة تقاطع الآثار الأولى للمستويات الرأسية  α γ, فمن هذه النقطة  P1 نرسم خط رأسي z حتى يتقاطع في النقطة P مع خط ادنى ارتفاع للمستوى المائل α .   لتبرير الاتجاه الرأسي  للخط z , نقول ان z ناتج من تقاطع مستويين رأسيين وبالتالي يجب ان يكون بدورة رأسيا.  بشكل عام يمكننا القول ان المستويات العمودية (مثل δ  β) على مستوى ثالث (مثل π1 ) تتقاطع بخطوط عمودية على نفس المستوى ( π1). 
2. من النقطة نرسم الخط m (تقاطع  α β) بحيث يكون موازي للخط r
3.  وأخيرا نجد النقطة المطلوبة Q كتقاطع بين الخط المعتبر a وخط التقاطع m

بهذه الطريقة حددنا أيضا  المستقيم P_Q المنتمي للخط  m كتقاطع حقيقي بين المستوى الرأسي β والمستوى المائل α.
في هذا الصدد وبما أن المستوى β عمودي على المستوى المائل α (كواحدة من المعطيات) فإن m يمثل "خط اقصى انحدار" للمستوى  α. أي من بين خطوط المنتمية للمستوى خط اقصى انحدار هو الذي يشكل الزاوية الأكبر مع مستوى الأرض π1 (او أي مستوى افقي أخر).

المرحلة الثانية

لإيجاد خط التقاطع s بين المستويين المائلين δ α, يجب تحديد نقطتين منتميتين إلى كلا المستويين.  واحدة من هاتين النقطتين هي النقطة التي أوجدناها سابقا في المرحلة الأولى. النقطة الأخرى يمكن ان تكون نقطة تقاطع الخط c (الذي يمثل خط اقصى ارتفاع  للمستوى α ). من أجل هذا الهدف, أي لتحديد نقطة التقاطع بين الخط c والمستوى α,  نتابع فيما يلي إجراءات مماثلة للمرحلة الأولى والتي سمحت لنا بإيحاد النقطة Q, وهي:

1. نمرر بالخط c مستوى مساعد رأسي σ,  أي أن الإسقاط الاولc1 للخط c يتطابق مع الأثر الأول t'σ للمستوى
2. نحدد خط التقاطع بين المستوى المساعد σ والمستوى المائل α. أي من النقطة N1 (التي تمثل نقطة التقاطع بين الاثار t'α  t'σ)  نرسم خط رأسي حتى يتقاطع في النقطة N خط أدنى ارتفاع للمستوى α. 
3. وأخيرا من النقطة N نرسم خط موازي للخط r الذي يمثل خط أقصى انحدار للمستوى α. وحيث يتقاطع مع الخط المعتبر c نجد النقطة المطلوبة R. التي تمثل النقطة الثانية لخط التقاطع بين المستويين δ α . علما بان النقطة الأولى هي Q  التي أوجدناها في المرحلة الأولى. ولذلك بتوصيل النقتان نجد الخط المستقيم s كتقاطع حقيقي بين المستويين  δ α. 

المرحلة الثالثة

لإيجاد خط تقاطع  بين α ومستوى الطية الاخرى للحجم J , نتبع اجراءات مماثلة للمراحل السابقة. لتثبيت الفكرة مرة اخرى, يمكننا ان نعيد خطوات تلك المراحل بشكل موجز. ولهذا ينبغي ايجاد نقطة التقاطع S بين الخط  b (الذي يمثل خط ادنى ارتفاع لمستوى  الطية الأخرى للحجم J )   والمستوى α. النقطة S تحدد كتقاطع بين الخط المعتبر b وخط أقصى انحدار ناتج كتقاطع بين المستوى الرأسي المار بالخط b والمستوى α.

وأخيرا بتوصيل النقطتين S R, نجد الخط المستقيم الممثل  التقاطع الحقيقي بين α ومستوى الطية الأخرى للحجم J.