13‏/02‏/2012

المحاضرة الثانية- 14/2/2012

المحاضرة ستبدأ بمواجهة طريقة مونج, التي تمثل واحدة من اساليب الاظهار الاكثر أهمية لبث المعلومات التقنية (خطة, علو, مقاطع عرضية وطولية لمبنى ما).

الإسقاطات العمودية للكيانات الهندسة الأساسية

الموضوع الأول يتناول الإسقاطات العمودية للكيانات الهندسة الأساسية (نقطة, خط, مستوى), كما قلنا في المحاضرة الاولى (شريحة 21) العناصر الرئيسية لطريقة مونج, تعتمد بشكل عام على استخدام عنصرين وهما مركز ومستوى الإسقاط . في طريقة مونج خصوصا يستخدم على الأقل مستويين ومركزين للإسقاط. حيث واحد من هذه المستويات افقي ويتطابق عادة مع مستوى ارض المشروع.  والمستوى الأخر يكون رأسي وعادة ما يوازي الواجهة الرئيسية للمشروع. أما مراكز الإسقاط فهما نقطتين لا نهائيتين, اتجاه كل منهما عمودي على واحد من مستويي الإسقاط
وللتفصيل,  الاتجاه العمودي على π1 (مستوى  الإسقاط الأول) يمثل واحد من المركزين ويسمى مركز الإسقاط الاول والذي يسمح بإيحاد بإيحاد خطة المبنى. أما الاتجاه العمودي  على π1 (مستوى  الإسقاط الثاني) فهو يمثل مركز الإسقاط الثاني والذي يسمح بإيحاد خطة المبنى.
في بعض الحالات هناك الحاجة الى مستويات اخرى للحصول على جميع المعلومات الشكلية والقياسية للمجسم المعتبر. مثلا في الشكل المرفق (شكل1)  فقد استخدم أيضا مستوى اسقاط  ثالث (π3) للحصول على ميلان طيتي سقف المبنى.  خلافا لذلك الاسقاط الاول (Top view) والثاني (front view) , لا تكفي وحدها لمعرفة ذلك الميلان.



شكل1: تمثيل مبنى بسقف مائل بطيتين, على اليمين يظهر أسلوب الاكسنومتري الكافاليرا الرأسية , وعلى اليسار طريقة مونج.



الإسقاطات العمودية للنقطة

بالإشارة الى النقطة  A ( الشكل1) المشتركة بين ثلاثة مستويات بالتوالي: واحد منهم هو المستوى الجانبي للمدخل (باللون الاخضر), ومستويين الاخرين هما الطيتين المائلتين للسقف  (باللون الازرق), الاسقاطات العمودية تحدد كالتالي:

  • الاسقاط الاول A1 للنقطة A يحدد كتقاطع بين π1 (مستوى  الاسقاط الاول) والخط الرأسي (يسمى خط الاسقاط الاول) المار بنفس النقطة A. 
  • الاسقاط الثانيA2 للنقطة A يحدد كتقاطع بين π2 (مستوى  الاسقاط الثاني) والخط الأفقي العمودي على π المار بالنقطة A.
  • الاسقاط الثالثA3 يحدد كتقاطع بين π2 (مستوى  الاسقاط الثالث) والخط الأفقي العمودي على π المار بالنقطة A.
  الخطوط التي تمر بمراكز الإسقاط تسمى بالتوالي:
  • خط الأسقاط الاول,  هو الخط الذي يمر بمركز الاسقاط الاول ∞C1 وبالتالي اتجاهه يكون عمودي على π1
  • خط الأسقاط الثاني,  هو الخط الذي يمر بمركز الاسقاط الثاني C1 وبالتالي عمودي على π2.  ويمكننا الاستمرار بالقول ان خط الاسقاط الثالث هو العمودي على π3 وهلم جرا اذا كان هناك مستويات إسقاط اخرى.
 وكما قلنا في المحاضرة الأولى (شريحة 21), بعد ان تتم عمليات الإسقاط نشرع بعمليات دوران المستويين π2  و π3 لجعلهما يتطابقان مع π1, كما توضح الاقواس (باللون السماوي) في الاكسنومتري الرأسية (الشكل1) . بعد أن تتم عملية الدوران الاسقاطات تبدو كما في  الجهة اليسرى من الشكل 1.

المسافة بين A1 وخط الارض تسمى بروز النقطة, أما المسافة بين A2 وخط الارض تسمى ارتفاع النقطة A.


تمثيل المستويات المرجعية في الاكسنومتري الرأسية
نبدأ برسم مستطيل لتمثيل مستوى الاسقاط الثالث π3. وبما ان هذا النوع من الاكسنومتري يتميز بابقاء الاشكال المستوية الامامية بمقاسها الحقيقي, فهذا يعني انه يمكن رسم اضلاع المستطيل بزويا قائمة فيما بينها. خلافا لما يحدث, كما سنرى أدناة, عندما نريد تمثيل الاسقاط الاكسنومتري للمستطيلات التي تمثل المستويين π2  π1.
الخط الأفقي السفلي للمستطيل يمثل خط الأرض (L.L) ويفترض انه ناتج من تقاطع المستويين  π1  π3   . من طرفي خط الأرض  نرسم خطوط العمق لتمثيل المستوى π1  . يجدر الإشارة الى ان زاوية اتجاه خطوط العمق بالنسبة لخط الارض L.L, يمكن ان تكون مختارة بطريقة عشوائية. في الشكل1  اختيرت  زاوية 45 كاتجاه لخطوط العمق. قياس عمق المستطيل الذي يمثل المستوى π1 يحدد بالنسبة لابعاد الحالة الفراغية المعتبرة.

الاسقاطات الاكسنومترية للمستطيلات التي تمثل  المستويات π1  π3 لا تبقى بشكلها الحقيقي لانها لا توازي مستوى الاسقاط الاكسنومتري π والذي في هذه الحالة يتطابق مع   π3.

في الاكسنومتري الكافاليرا الرأسية, مستوى الاسقاط π يتطابق (او يوازي) واحد من المستويات المحورية (xy, yz, xz). في هذه الحالة   π يتطابق مع المستوى yz (او π2 ).  وبالتالي الاشكال الموازية للمستوى π تبقى بشكلها ومقاسها الحقيقي. لمعرفة مقاس خط العمق x' , ينغي قلب المستوى حول المحور y لجعلة يتطابق مع  مستوى الاسقاط π. وهكذا نحصل ايضا على *x , الذي يمثل محور x مقلوب على المستوى π . نثبت النقطة *M على *x  ونختار اسقاطها 'Mعلى *x, الخط الذي يمر بالنقطتين M 'M* يحدد اتجاة مركز  التألف بين المستوى المقلوب x*y  والمستوى المُسقط x'y.









الإسقاطات العمودية للنقطة في طريقة مونج
بعد ان عرفنا التكوينية الفراغية للإسقاطات العمودية للنقطة في الاكسنومتري الرأسية, نشرع برسم الإسقاطات العمودية لنفس النقطة في طريقة مونج, والتي يمكن أن تلخص كالتالي: 
  • نرسم خط الأرض ثم نثبت عليه النقطة A0 , ومنها نرسم خط التناظر (خط عمودي على خط الأرض) .  وعليه ابتداء من A0 نثبت النقطتينA1 و A2. حيث المسافة بين  A1 و  A0 تمثل بروز النقطة A (بالنسبة ل π2  ), والمسافة بين A2 و  A0 تمثل ارتفاع النقطة A (بالنسبة ل π1  )

لإيجاد الإسقاط الثالث A3 للنقطة A (شكل3), من ِA2 نرسم خط عمودي على π3 , وكنقطة تقاطع نجد A'03, بمركز في النقطة P (النقطة المشتركة بين المستويات π3  π π1) نرسم دائرة نصف قطرها المسافة P-A'03, التي تقطع خط الأرض في النقطة A03, من هذه النقطة نرسم خط التناظر (عمودي على خط الارض) الذي يلتقي الخط الأفقي المار بالنقطة  A2 في النقطة المطلوبة  A3.

شكل 2: الاسقاطات العمودية لنقطة A, في الاكسنومتري الكافاليرا الافقية وفي طريقة مونج




الإسقاطات العمودية للخط 


شكل3: الاسقاطات العمودية لخط  r في الاكسنومتري الكافاليرا  الرأسية (على اليمين), وفي طريقة مونج (على اليسار)

شروط انتماء نقطة على خط


شكل4: شروط انتماء نقطة P على خط r , تكمن في ان الاسقاطات العمودية للنقطة P1 P2 تنتمي بالتوالي على الاسقاطات العمودية للخط r1 r2
شكل5: تحديد نقطة تقاطع بين خط رأسي  r , ومستوى مائل الفا

لوحة 2 : مبنى بسقف مائل ذو طيتين, وموقد على شكل متوازي السطوح.  المواضيع المتناولة تشمل: - كيفية رسم أكسنومتري كافاليرا افقية ؛  - تقاطع بين متوازي السطوح ومستوى مائل؛  - الانشاءات الهندسية لتمثيل قوس ينتمي لمستوى رأسي؛ خطوط أقصى انحدار لمستوى مائل


12‏/02‏/2012

Presentation 12-2-2012- المحاضرة الأولى

الجامعة الأردنية / قسم هندسة العمارة
مقرر: الرسم والإظهار المعماري
المدرس: الدكتور حسن العيسوي


الفصل الدراسي الثاني 2012


ملاحظة, يرجى من الطلاب التسجيل في  الموقع المخصص  لتحميل ومناقشة  المواضيع والتمارين  المقترحة خلال المحاضرات، وهو التالي:
اسم المجموعة:
الرسم والاظهار المعماري
الرابط:
http://www.facebook.com/groups/233832643371047/
Slide2 

هدف مقرر الرسم والإظهار المعماري هو توفير المفاهيم والمهارات المفيدة لتطوير قدرة الطالب على تصور الأشكال الهندسية في الفراغ وبثها بطريقة سريعة وصحيحة.
عمليات الاسترداد المنظوري لإدراج مشروع افتراضي في بيئة حقيقة. ابتداء من اليسار في الأعلى يظهر موقع المشروع, ومن ثم عملية إدراج المشروع الافتراضي وأخيرا تنظيم المنطقة المحيطة.
 

Slide3
الرسم الحر والنمذجة الرقمية
القدرة على تصور وضع فراغي وترجمته إلى فكرة تصميمية معينة,  تعتبر من المهارات الضرورية للتفاعل مع المهنيين في كل مراحل المشروع.
الرسم الحر يعتبر نقطة انطلاق ضرورية نحو تقنيات النمذجة (Modeling) ثلاثية الأبعاد باستخدام الحاسوب.






Slide 4
الكيانات الهندسية الرئيسية
جميع أنواع الرسم, سواء يدوي أو رقمي (digital), تعتمد أساسا على  مفاهيم الهندسة الوصفية. التي تهتم بتدريس القواعد الاساسية لنمذجة الفراغ الهندسي وتمثيله بطريقة دقيقة لا لبس فيها.
 الكيانات الهندسية الاساسية (نقطة، خط ، مستوى) التي يتكون منها أي عنصر معماري تحدد كما يلي:
 
 النقطة, - كتقاطع بين خطين (b, d) متحدة المستوى (coplanar) ؛ - أو كتقاطع بين خط r ومستوى p1 ؛ أو كتقاطع بين ثلاثة مستويات  (p1 ,p2, p3)
الخط , كتقاطع بين مستويين (p1 p3,)
وأخيرا المستوى يحدد  بتعيين ثلاثة نقاط غير مصطفة على نفس الاستقامة (مثل رؤوس أي مثلث في الفراغ).

الكيانات الهندسية الرئيسية: النقطة , الخط والمستوى



Slide 5
الرسم كعملية إسقاط 

الرسم) أو الصورة(  تنتج بشكل عام من عملية إسقاط لنقاط مجسم ما على سطح مستوي (ورقة الرسم أو سطح متلقي للظل أو فيلم فوتوغرافي).
الإسقاط ينقسم إلى نوعين:
الإسقاط الموازي (شكل1), مثل بعض أساليب الاظهار, كطريقة مونج,  والاكسنومتري (axonometry)
الإسقاط المركزي (شكل2) , مثل المنظور بكل أنواعه (بمستوى رأسي, افقي او مائل).
الجدير بالذكر أن مصطلح الإسقاط يشير إلى عمليتين منفصلتين:
عملية الإسقاط, تتمثل في تمرير خط بمركز الإسقاط S  وبالنقطة المعتبرة P
وعملية التقاطع, في إيجاد نقطة الالتقاء (P*) بين الخط S  ومستوى الإسقاط.
الظلال الناتجة من مركز ضوء لانهائي تعتبر إسقاط موازي (أكسنومتري)
الظلال الناتجة من مركز ضوء نهائي تعتبر إسقاط مركزي (منظور)



Slide 6 
الاكسنومتري 


وفقا لاتجاه مركز الإسقاط (عمودي او مائل) بالنسبة لمستوى الاسقاط, الاكسنومتري تنقسم الى نوعين: الاكسنومتري العمودية والاكسنومتري المائلة.
.1الاكسنومتري العمودية, بدورها تنقسم الى ثلاثة أنواع:
ايزومتري, حيث الزوايا بين الاسقاطات x’, y’, z’  للمحاور xyz, تكون متساوية فيما بينها (شكل5)
ديميتري, حيث هناك تساوي بين اثنين فقط من زوايا المحاور (شكل6)
ترميتري, حيث الزوايا بين الإسقاطات x’, y’, z’ تكون مختلفة فيما بينها (شكل7)



Slide 7
الاكسنومتري

.2الاكسنومتري المائلة, حيث اتجاة الإسقاط C∞ يكون مائل بالنسبة لمستوى الإسقاط p.  وفقا لتوازي اثنين من المحاور xyz بالنسبة لمستوى الاسقاط pالاكسنومتري المائلة تنقسم الى نوعين:

كافاليرا افقية, حيث المستوى الأفقي (XY) يتطابق (او يوازي) مستوى الاسقاط  p (شكل9). 
كافاليرا رأسية, حيث المستوى الرأسي yz (أو xz) يتطابق (او يوازي) مستوى الاسقاط  p (شكل10).
ميزة الاكسنومتري الكفاليرا هي أن الأشكال  المستوية الموازية لمستوى الاسقاط تبقى بشكلها ومقاسها الحقيقي حتى بعد عملية
 الإسقاط. البعد الثالث يمكن أن يبقى بمقاسه الحقيقي أو من الأفضل تقليله بأي نسبة مختارة, مثل النصف بهدف تقريب الاكسنومتري إلى التصور الطبيعي (ألمنظور).




Slide 8
الاكسنومتري الكافاليرا الأفقية 

من بين الأنواع المختلفة من الاكسنومتري , الكافاليرا الأفقية هي الأكثر استخداما في الرسم اليدوي, وذلك لسهولة وقلة الإنشاءات الهندسية المطلوبة لتمثيل الأشكال ثلاثية الأبعاد. مثلا لدينا إسقاطات مجسم مكون من متوازي المستطيلاتK (Parallelepiped) ومن هرم قائم . بحيث القاعدة العلوية لK هي أيضاً قاعدة الهرم (شكل1). لإنشاء الاكسنومتري الأفقية للمجسم, نتبع ما يلي: 
نرسم القاعدة المستطيلة A1B1C1D1 بحيث يكون الضلع A1B1  دائر ب30 درجة بالنسبة لخط مرجعي (شكل2).
من رؤوس القاعدة السفلية A1B1C1D1  نرسم خطوط رأسية بحيث تكون مساوية لارتفاع K. وهكذا نجد الإسقاط الاكسنومتري للقاعدة العلوية ل K.   وبالمثل نرسم أحرف الهرم بإيجاد القمة V وبتوصيلها برؤوس القاعدة العلوية  ABCD  للمتوازي K (شكل3).






Slide 9
الاكسنومتري الكافاليرا الأفقية

من الممكن أجراء تمارين أخرى لتمثيل المجسمات البدائية  في الاكسنومتري الكافاليرا الأفقية, مثل المخروط والاسطوانة والكرة والهرم والمنشور.
مثلا لتمثيل المخروط الدائري القائم , نشرع برسم القاعدة الدائرية D, ومن مركزها نرسم خط رأسي z ونعيين علية النقطة  V التي تمثل قمة المخروط. وأخيرا نرسم الخطيين المارين بالنقطة V والماسين بالتوالي قاعدة المخروط. هاذين الخطيين يمثلان الكفاف الظاهر للمخروط..
الخطوط المارة بقمة المخروط وبنقاط القاعدة
تسمى رواسم المخروط.
الميزة المهمة لهذا النوع من الاكسنومتري هي أن الأشكال المستوية الأفقية تبقى بشكلها
ومقاسها الحقيقي.






Slide 10
الاكسنومتري الكافاليرا الرأسية  


هذا النوع من الاكسنومتري أيصا يعتبر سهل الاستخدام وخصوصا في الحالات التي ينبغي فيها تمثيل منحنيات تنتمي لمستويات رأسية.
 مثلا من الأفضل تمثيل اسطوانة دائرية بمحور أفقي باستخدام هذا النوع من الاكسنومتري, لان القواعد الدائرية في هذه الحالة (الشكل المرفق) تبقي بشكلها ومقاسها ألحقيقي.
وكما هو الحال في  البوابة المقوسة، (في الشكل المرفق الآخر)، التمثيل يتم بشكل فوري.
تجدر الإشارة إلى أن خطوط العمق يمكن أن تكون بأي اتجاه بالنسبة لخط الأرض ، ويمكنها ان تبقى بمقاسها الحقيقي,  ولكن من الأفضل اختيار اي نسبة أقل (مثلا النصف).  سبب هذا  التقليل كما قلنا سبقا هو تقريب ولو جزئيا الاكسنومتري  إلى الرؤية البشرية.






Slide 11
نظرية الظلال

يمكن تعريف نظرية الظلال بالدراسة التي تسمح، عندما يثبت مصدر ضوء, بإنشاء، من خلال سلسلة من الإنشاءات الهندسية، الظل الذاتي والساقط لشكل ما.
الظلال في التمثيل الهندسي يمكن ان تعطي الإدراك بعمق الفراغ، أي أنها تخلق وهمية البعد الثالث على ورقة الرسم، وتعطي أيضا صورة صحيحة عن موضع الأشكال في الفراغ. ولهذا فعملية الظلال والتظليل تتطلب معرفة جيدة بقواعد الهندسة الوصفية.







Slide 12
نظرية الظلال  (theory of shadows)

الظلال تًُثري رسم السكتشات السريعة لإعطاء الفكرة الأولية لمشروع ما. والتي بعد ذلك ستحدد بدقة من خلال النمذجة الرقمية (3D modeling).
الظلال تعتبر رؤيا من مركز إسقاط أخر، أي أن هناك إسقاطين لنفس الشكل: مركز الإسقاط الأول يتطابق مع مركز النظر والأخر مع مصدر الضوء.
الظلال تسمح بإنشاء الخطة الحجمية (Volumetric plan) حيث تراكب الظل والخطة يعطي المعلومات المفقودة (مثل ألارتفاعات).

تطبيقات نظرية الظلال في طريقة مونج وفي الاكسنومتري الكافاليرا الأفقية








Slide 13


الظلال كعملية تقاطع


يمكن تفسير عملية الظل كتقاطع بين كيان ضوء وكيان متلقي للظل.
كيان الضوء يمكن ان يكون خط في الحالة التي يراد فيها إيجاد ظل نقطة (شكل1)، أو سطح مستوي عندما يراد إيجاد ظل خط مستقيم (شكل2), أو سطح منحني عندما يراد إيجاد ظل خط منحني .


مثلا ظل نقطة P على سطح α (شكل1), يمكن ان يحدد كنقطة تقاطع بين الشعاع الضوء المار بالنقطةP والسطح α المتلقي للظل.


- ظل خط مستقيم r على سطح α (شكل2), يعادل تقاطع بين مستوى الضوء المار بالخط r والسطح α.













Slide 14

الظلال الذاتية


في جميع حالات الظلال الذاتية للمجسمات البدائية التي لها قمة نهائية مثل الهرم والمخروط أو لانهائية مثل المنشور والاسطوانة, ينبغي إيجاد ظل قمة المجسم على مستوى القاعدة , ومنه رسم الخطوط الماسة لنفس القاعدة. في هذه الطريقة نجد الظل الذاتي بمجرد توصيل نقاط المماس بقمة المجسم.


الظلال الذاتية والساقطة لأسطح بقمة نهائية (مخروط, هرم) او لانهائية (اسطوانة, منشور).








Slide 15

المنظور


المنظور هو أحد تطبيقات الإسقاط المركزي, يعتبر الإظهار الهندسي الأكثر تشبيها بالرؤيا البشرية.
كما هو الحال في الإسقاط الموازي يعتمد نظرياً على عمليتين وهما عملية الإسقاط وعملية التقاطع. أي عملية إسقاط نقاط الشكل بواسطة خطوط تمر بمركز الإسقاط (في هذه الحالة نقطة نهائية) وفي عملية تقاطع هذه الخطوط مع مستوى الإسقاط. الرسم الناتج من هذا النوع من الإسقاط مشابهة للصورة الفوتوغرافية.
في هذا النوع من الإسقاط صورة الخطوط الموازية لبعضها تتشكل من خطوط تلتقي في نقطة تسمى نقطة التلاشي.



منظور بمستوى إسقاط رأسي لأحجام مكونة من
متوازيات سطوح





Slide 16


أنواع المنظور



أخذين في الاعتبار متوازي السطوح بأحرف متطابقة او موازية للمحاور xyz , يمكن تقسيم المنظور إلى ثلاثة أنواع:

1- منظور بمستوى إسقاط رأسي (أو منظور رأسي), يتميز هذا النوع من المنظور بان الصورة المنظورية للخطوط الرأسية (مثل z ( تتمثل في خطوط متوازية فيما بينها. وهذا يعني أن نقطة تلاشي هذه الخطوط تكون نقطة لانهائية.


المنظور الرأسي ينقسم بدوره إلى نوعين:


• منظور أمامي, عندما يكون مستوى الإسقاط عمودي على واحد من المحاور الأفقية (x أو y). وبالتالي منظور الخطوط العمودية على مستوى الإسقاط (مثل (x تتكون من خطوط تلتقي في النقطة الرئيسية (O0). وبالتالي صورة الخطوط الموازية لمستوى الإسقاط (مثل y وz) تتكون من خطوط متوازية فيما بينها.


• أو منظور بزاوية, عندما يكون مستوى الإسقاط موازي فقط للمحور الرأسي z.








Slide 17



أنواع المنظور



التكوينية الفراغية لمنظور بمستوى رأسي أمامي مرئي من الداخل. حيث يمكن
ملاحظة ان اتجاه خط النظر الرئيسي عمودي على واحدة من واجهات المجسم
المعتبر, وبالتالي منظورالخطوط العمودية على مستوى الإسقاط تتكون من خطوط تتلاقى في النقطة الرئيسية o0





























Slide 18

العناصر الرئيسية للمنظور: مركز النظر O؛ مستوى الاسقاط p





Slide 19


منظور بمستوى أسقاط مائل

.2 منظور بمستوى إسقاط مائل (أو منظور مائل), عندما يكون مستوى الإسقاط مائل بالنسبة لمستوى الأرض xy . يتميز هذا النوع من المنظور بان إسقاطات الخطوط الرأسية تتمثل في خطوط تلتقي في نقطة تلاشي نهائية (Iz).
المنظور المائل وفقا لموضع الناظر بالنسبة للحجم المعتبر, يمكن ان يكون:
مرئي من الأسفل (الشكل المرفق), في هذه الحالة نقطة تلاشي الخطوط تكون عادة في المنطقة العلوية من الرسم.
منظور بمستوى إسقاط مائل مرئي من الأسفل


Slide 20

أو مرئي من الأعلى (الشكل المرفق), في هذه الحالة نقطة تلاشي الخطوط الرأسية (مثل z) تكون عادة في المنطقة السفلية من الرسم.
منظور بمستوى إسقاط مائل مرئي من الاعلى


Slide 21
طريقة مونج ( او الاسقاطات العمودية )

تعتبر واحدة من اهم اساليب الرسم والاظهار المعماري لبث المعلومات التقنية (الأشكال والقياسيات)  للمشاريع الهندسية بطريقة دقيقة. 

العناصر الرئيسية
العناصر الرئيسية لطريقة
مونجكا هو الحال في جميع اساليب الاظهار, تعتمد على استخدام عنصرين رئيسيين وهما مركز ومستوى الاسقاط . خلافا للاساليب الاخرى, طريقة مونج تستخدم على الاقل مستويين ومركزين للاسقاط.
واحد من هذه المستويات افقي, الذي عادة ما  يتطابق مع مستوى ارض المشروع. والمستوى الاخر يكون رأسي وعادة ما يوازي الواجهة الرئيسية للمشروع.
العناصر الرئيسية في طريقة مونج



Slide 22 
في الحالة التي يستخدم فيها مستويين فقط للاسقاط, مراكز الاسقاط تكون بالتوالي:
مركز الاسقاط الاول C1, باتجاه عمودي على مستوى الإسقاط الأفقي (p1),
  مركز الاسقاط الثانيC1باتجاة عمودي على مستوى الاسقاط الرأسي (p2). 
خط تقاطع مستوى الاسقاط الاول p1 مع الثاني p2, يسمى خط الأرض L.L.




تمثيل مبنى بسقف مائل بطيتين, على اليمين يظهر أسلوب الاكسنومتري الكافاليرا الرأسية , وعلى اليسار طريقة مونج.

وفقا لتعقيد المبنى المعتبر, من الممكن في طريقة مونج استخدام أكثر من مستويين للاسقاط. في هذه الحالة تم استخدام مستوى اسقاط ثالث للحصول على المقاس والشكل الحقيقي للواجهة الجانبية للمبنى,

 بعد أن تتم عمليات الإسقاط يشرع في عملية دوران المستوى الرأسي حول خط ألأرض بعكس عقارب الساعة, لجعله يتطابق مع المستوي الأفقي. هدف هذه العملية هو الحصول على مستوى واحد (او بالاحرى مستويين متطابقين) لتسهيل عمليات قراءة وكتابة الرسم.
الخطوط التي توصل النقاط المتقابلة (مثلA1,A2) تسمى خطوط تناظر. التي اتجاهها يكون عمودي على خط الأرض.


  



Slide 23



تمثيل الكيانات الهندسية الرئيسية

تمثيل النقطة 
من الممكن تحديد نقطة P في الفراغ إذا كان لدينا على الأقل إسقاطين عموديين P1 و P2 لنفس النقطة P. تقنيا نمرر بالنقطة  Pخطين عموديين على مستويات الإسقاط π2 π1 , نقطتي التقاطع P1 و P2, تمثلا بالتوالي, الإسقاط الأول P1 والإسقاط الثاني P2 للنقطة P .
بعد أن تتم عمليات الإسقاط, وبهدف تسهيل عمليات الرسم على مستوى واحد فقط,  نشرع في عملية دوران المستوى الرأسي π2  حول خط ألأرضL.L  لجعله يتطابق مع المستوي الأفقي π1  كما يظهر في الشكل.



الاسقاطات العمودية لنقطة P موضوعة في الزاوية الزوجية الأولى (angle_Dihedral )




Slide 24


تمثيل الخط
يتم تحديد الإسقاطات العمودية r1 r2  لخط r  موضوع في الفراغ, كما يلي:
- الإسقاط الاولr1   للخط r  يحدد كتقاطع بين مستوى الإسقاط π1  والمستوى الرأسي المار بالخط r؛
- وبالمثل الإسقاط الراسي r2، يحدد كتقاطع بين مستوى الإسقاط π2  والمستوى العمودي على π2  والمار بالخط r.
تقنيا، لتحديد الإسقاط الأول r1 لخط  r من الضروري تحديد وتوصيل على الأقل إسقاط نقطتين لنفس الخط r.

وبما أن الخط يعتبر كيان غير محدود في كلا الاتجاهين، فمن الممكن إيجاد تلك النقطتين كتقاطع بين الخط r ومستويي الإسقاط π2 π1 .  نقطة تقاطع r مع π1، تسمى الأثر الأول للخط r وترمز T’r . أما نقطة تقاطع r  مع π2، تسمى الأثر الثاني للخط وترمز T”r .
مثلا لإيجاد
r1, نسقط الأثر الثاني T”r على p1 ومن ثم نوصله بالأثر الأول T’r. 









Slide 25

تمثيل السطح المستوي
يتم تحديد سطح مستوي a بايجاد الاسقاطات العمودية لخطين t’a, t”a, من المستوى a.
وبما أن المستوى يعتبر نظريا كيان غير محدود, فمن الممكن إيجاد الخطين t’a, t”a , كتقاطع بين المستوى a ومستويي الإسقاط π2 π1 . الخط t”a  كتقاطع بين aوπ1. أما الخط t”a  كتقاطع بين      a وπ2 .
الإسقاطات العمودية لمستوى في وضع عام



  



Slide 26


تمثيل مستوى بواسطة ثلاثة نقاط 
من الممكن تحديد مستوى a في الفراغ إذا كان معلومة
الإسقاطات العمودية لثلاثة نقاط P,Q,R, منتمية ل a . أو
العكس, أي من الممكن ايجاد الإسقاطات العمودية لمستوى اذا
 كان معلومة ثلاثة نقاط في الفراغ ( بشرط ان لا تكون مصطفة على نفس الاستقامة.